『圏論の道案内』
著者
結構ミスってるので注意
>異分野協働なんて、掛け声はきれいだけど「普通できるわけがない」というのである。しかし、もしかしたら圏論はそれをもっと容易にするかもしれない。実際、BaezとStayは、圏論を物理・トポロジー・論理・計算の「ロゼッタ・ストーン」(略)になぞらえた。私は、圏論は数理系諸科学のロゼッタ・ストーンどころの騒ぎではないと思っている。全ての学のロゼッタ・ストーンになるはずだと思うのだ。 -- p.9
1章 道案内の前に
図式
対象と射の関係を図示したもの
よく見る矢印とか書いている図のやつ
2章 圏
モノイドの圏p.57~
亜群と群とモノイドの関係
対象は一つ
対象は複数
任意の射が可逆
任意の射が可逆でない
3章 関手
4章 自然変換
あまりにも意味がわからないのでいったん飛ばすことにした
5章 普遍性
普遍性は様々な圏で成り立つような概念
ex. 量系の圏\mathrm{Qua}の量0だけからなる量系 ref 『圏論の道案内』#5dda93db1982700000572790
鳥のたとえ話は時間が経っても太陽の位置が変わらないことが前提になっている
Aがz軸、Bが(x,y)座標、Xは時間として考えている
ある時間xを決めればその時の鳥の位置(x, y, z)が一つに決まると言っている
よくわからないまま終わったので、後で復習したい
対象は射、射は「2つの射を結ぶ可換図式」
6章 冪: プログラムの本質
()^Aのようなものは()に任意のものが入る無名関数のようなもの
fを引き数に取れば、そのままf^Aになる
点全射
7章 圏論的集合論
圏における単射
一旦眺めたが、頭に入っていないので再読しよう
8章 随伴
9章 モナド
10章 道案内の後に
伏線回収できなかった話、感謝、参考文献など
量系
量系圏てきな
可換モノイドの具体例として量のシステムを考えている
量とは「kg」とか「km」とか
可換なモノイドなので、演算の順序に制限はない
射は量
合成は加法
恒等射は0のモノイド
「0kg」とか
普通に、3kgという量と、4kgという量を足すことができてしかも可換であることから、こういう具体例になるのね
一つの圏は一つの単位
1kgと2kgという射を合成すれば3kgにできる
量系の圏\mathrm{Qua}
可換モノイドの圏CMonの具体例として考えている
対象は量系(M,M')
対象が量系ということは、この圏のなかにkgとかhとかが含まれるということか？
量系間の準同型全体\mathrm{Hom}(M,M')も量系
射はモノイド準同型
量系と量系の間の射だね
つまりこれは関手
「走行時間(h)を表す量」と「走行距離(km)を表す量」の正比例を考えると
走行時間が決まれば、走行距離が決まる
この関係をhからkmへの関手とみなす
例えば10km/hのとき、関手f:h\rightarrow kmを考えると
f(10+20)=f(10)+f(20)=1000+2000=3000(\mathrm{km})になる
任意の量系Mと\mathrm{Hom}_\mathrm{Qua}(\mathbb{N},M)はモノイドとして同型
量系間の準同型全体\mathrm{Hom}(M,M')も量系
intensive quantity
量系から量系への関手は、正比例の関係と捉えることができる
ここで一番上のような何もしない関手0を定めれば、この関手群\mathrm{Hom}(km,h)を量系圏と考えることができる
この射は「1単位あたりの量」である内包量だと考えることができる
これ、言ってないけど関手圏Funのことだよね
ref 
pp.82-85 関手の例4
\tilde{v}(n)=vnのnは\mathbb{N}の射
\tilde{v}は、\mathbb{N}からMへの関手
ここでの主張は、「一般の量をモノイド準同型とみなせる」ということ
vnだけでMの全ての射を表せることが前提にあるきがする
なんでコレ成り立つ？
ちょっと疑問なのは、vと2vの間に入るものはないのか？ってこと
v=2なら、2と4の間に3みたいなやつがありそうだけど、
今は無限集合と無限集合の一対一対応の話をしているからそれはどうでもいいのか？
Mは量系圏。つまり可換なモノイド
\mathbb{N}も同じ
射を元と考えたときの、写像と捉えることができる
vと\tilde{v}を同一視できる
こまかい定義を確認する前に、これが何を言っているのかわからない
一つの量系圏の射と考えていたものが、
複数の量系の圏の射とも考えることができる
上の画像の小さい丸まってる矢印が前者、左から右へいってる矢印が後者
これらは完全に一対一対応してるので同一視できる
数系
半環の具体例として考えている
特殊な量系圏のこと
どう特殊かというと
数系Aの量を数と呼ぶ
数系Aの射だね
p.84の「さて、先ほど」からまじでわからん
これわからないと3章の先よめねえんだよな....
自然数は、可換モノイドから同じ可換モノイドへの準同型
つまり、可換モノイド上の自己準同型