圏と圏の同じさ

圏の圏の同型よりゆるい条件

圏\mathscr{A},\mathscr{B}の間に同値関係があるとき、\mathscr{A}\simeq\mathscr{B}と表記する

定義

2つの関手F: \mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B},G:\mathscr{B}\rightarrow\mathscr{A}に対して

関手圏Funの対象として、以下を満たすものが存在する時、圏\mathscr{A},\mathscr{B}は圏同値であるという

G\circ F\cong 1_\mathscr{A},F\circ G\cong1_\mathscr{B}

\congは自然同型を表す

圏の圏における同型の場合はここが「=」になっている

なんで自然同値はイコールより「ゆるい」の #??

F,Gはなんでもいいからそういう組が一つでも見つけられれば圏同値なの？

自然同型は、関手圏における同型射だったが、

以下のような赤い圏において、以下のような紫の射があるとき、圏同値だという

ポイントは関手圏として考えているのは、\mathscr{A}^\mathscr{A}と\mathscr{B}^\mathscr{B}であるということ

自己関手の間に、同型射としての自然変換が\mathscr{A}^\mathscr{A}にも\mathscr{B}^\mathscr{B}にも存在するときに

\mathscr{A}\cong\mathscr{B}なのである

こういう図式化の仕方もある

青色の矢印が自然同型

書いていないが逆射も存在する

F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}について以下は同値

(1)G:\mathscr{B}\to\mathscr{A}が存在して、関手の組(F,G)が圏同値\mathscr{A}\cong\mathscr{B}を与える

(2)関手Fが、充満忠実関手かつ対象について本質的に全射

(2)の情報だけでからから(1)を得られるのが嬉しい

↑の証明のメモ ref p.55

最初

\varepsilonは自然同型

→\varepsilon_B:B\to FGBは同型射

任意のBに対して。

→B\cong FGB

つまり、ぼっちBが存在しようとも、同型なFGBが必ず存在するということ？

→? Fは、対象について本質的に全射

めっちゃ途中だが、時間かけてちゃんとやりたい

びっくりわかりやすい

先にこっちも見ると良いかも

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参考