充満忠実な関手

定義

関手F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}が充満忠実であるとは

(A_1,A_2)\in\mathscr{A}にたいして、

F:\mathscr{A}(A_1,A_2)\to\mathscr{B}(F(A_1),F(A_2))が充満忠実になることを言う

補題 ref p.54

充満忠実関手F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}があるとき、圏\mathscr{A}の任意の対象の組(A,A')について以下が成り立つ

以下は同値

\mathscr{A}の射f:A\to A'が同型である

\mathscr{B}の射Ff:FA\to FA'が同型である

\mathscr{B}の任意の同型g:FA\to FA'に対して、

\mathscr{A}の同型f:A\to A'でFf=gとなるものが一意に存在する

以下は同値

\mathscr{A}の対象AとA'が同型である

\mathscr{B}の対象FAとFA'が同型である

対象というよりは、「射についての写像F」の全単射性と見たほうが理解しやすい

下図は、充満忠実関手Fの例

緑線が対象の対応

ex. F(A)=X

青線が射の対応

ex. F(f) = n

Z\in\mathscr{B}はボッチになっているが、Fはたしかに忠実である。

Zはそもそも、F(C)=ZになるようなC\in\mathscr{A}が存在しないので無視していい

ここで注目すべきは、

A,Bの間の射と、

その対象の写し先であるX,Y間の射

のみに着目すればいい

関係ないものを取っ払うと下図のようになり、全単射であることがわかる

他の例

例

参考

『圏論入門』 pp.25-27