圏と圏の間の矢印のこと関手と呼ぶ

関手は圏と圏の間の対応を、「対象」と「射」の間に取っている

分けて書くなら、

圏\mathscr{A}と圏\mathscr{B}の間の対応を、「対象」の間に取っている

同時に、圏\mathscr{A}と圏\mathscr{B}の間の対応を、「射」の間でも取っている

普通の「写像」は集合間の写像、つまり射の間の対応のみを言っている

関手は、モノイド準同型の一般化

モノイドでは対象が一つしかないので、「対象間の対応」は考えるまでもなく自明だった

定義

\mathscr{A},\mathscr{B}を圏としたとき以下からなる

A\to F(A)

\mathrm{ob}(\mathscr{A})\rightarrow\mathrm{ob}(\mathscr{B})

\mathrm{ob}(\mathscr{A})は対象の集まり

f\to F(f)

\mathscr{A}(A,A')\rightarrow\mathscr{B}(F(A),F(A'))

以下を満たす

\mathscr{A}の射f,gの合成\circについて、

F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)である

\mathscr{A}の対象Aに対する恒等射1_Aについて、

F(1_A)=1_{F(A)}である

つまり、恒等射は恒等射に写される

あえて雑に言っているが意味はわかるだろう

関手Fは対象関数と射関数よりなる

対象関数

F_o: \mathrm{Ob}(\mathscr{A})\to\mathrm{Ob}(\mathscr{B})

圏\mathscr{A}と圏\mathscr{B}の間の対応を、「対象」の間に取っている

射関数

F_f:\mathscr{A}(A_1,A_2)\to\mathscr{B}(F(A_1),F(A_2))

圏\mathscr{A}と圏\mathscr{B}の間の対応を、「射」の間に取っている

↑のわかけた間違っているかも

「射関数」は↑の2つの関数を合わせたもののこと？

でもそれ関手じゃん

簡潔に図にする

対象と射の対応

恒等射は恒等射へ

関数合成は保存される

雑だがこうも換言できる

以下をすべて同時に満たすもの

圏を「対象の集合」と考えた時の、圏から圏への写像

元は対象

圏を「射の集合」と考えたときの、圏から圏への写像

元は射

それでかつ、合成の保存と、恒等射の対応も取る

関手の対応は、単射なのか全射なのかについては定義では言及されていない

言及したものは充満関手だとか、忠実関手だとか充満忠実関手だとかという

あくまでも写像であると言っている

つまり、入力側にボッチな対象や射は存在しないが、

出力側には存在しうる

単射でないこともありうる

例

H_n: 位相空間の圏Top→アーベル群の圏Ab

pp.16-17

作用の話だ

p.26

関連p.34, p.36

参考