from モノイダル圏

モノイダル圏からモノイダル圏への関手

モノイドとモノイドの間の写像の話をしている

モノイド準同型を一般化したものが関手

定義

モノイド\lang M,\circ_M,1_M\rangに対して、写像f:M\rightarrow M'がモノイド準同型とは、以下を満たすことを言う

\forall a,b\in Mについて、f(a\circ_M b)=f(a)\circ_{M'}f(b)

f(1_M)=1_{M'}

単位元は保たれる

補足

モノイドは対象が一つの圏でいくつかの射があるので、射の集合と捉えることが出来る

その射の集合をMとして、その上にある演算が\circ_M

1_Mは単位元であり、恒等射

具体例

指数関数f(x)=e^x

モノイド\lang \mathbb{R}, +, 0\rangからモノイド\lang \mathbb{R}_{\gt 0},\times,1\rangへのモノイド準同型

e^{2+3}=e^2 e^3

定義の1つ目

単位元の写像先は単位元になるe^0=1

定義の2つ目