忠実な関手

関手F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}が充満忠実であるとは

(A_1,A_2)\in\mathscr{A}にたいして、

F:\mathscr{A}(A_1,A_2)\to\mathscr{B}(F(A_1),F(A_2))が忠実になることを言う

対象というよりは、「射についての写像F」の単射性と見たほうが理解しやすい

下図は、忠実であるが、充満でない関手Fの例

緑線が対象の対応

ex. F(A)=X

青線が射の対応

ex. F(f) = n

Z\in\mathscr{B}はボッチになっているが、Fはたしかに忠実である。

Zはそもそも、F(C)=ZになるようなC\in\mathscr{A}が存在しないので無視していい

ここで注目すべきは、

A,Bの間の射と、

その対象の写し先であるX,Y間の射

のみに着目すればいい

関係ないものを取っ払うと下図のようになり、単射であることがわかる