関手とFunctor
関手とFunctor型クラスの対応について
HaskellのFunctor型クラスが、圏論で言う関手に対応する
関手の定義
\mathscr{A},\mathscr{B}を圏としたとき以下からなる
D1 :A\to F(A) \mathrm{ob}(\mathscr{A})\rightarrow\mathrm{ob}(\mathscr{B})
D2 :f\to F(f) \mathscr{A}(A,A')\rightarrow\mathscr{B}(F(A),F(A'))
以下を満たす
T1 : F(1_A)=1_{F(A)} T2 : F(f\circ g)=F(f)\circ F(g) 後で参照しやすいように
D1 , D2 , T1 , T2 と名前を振っておいたFunctor型クラスの定義
hsclass Functor f where
fmap :: (a -> b) -> f a -> f b -> は右結合なので以下のように括弧を付与できる fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b) 関手は、定義からわかるように2つの圏を見たときに、
対象同士と
射同士の
2つの対応付けを同時に行うものである
HaskellにおけるFunctorについてもこの2つの対応があることを確認する
具体的な対応例を見るとこんな感じになる
Hask圏のことを考えているので、ドメインもコドメインもHask圏になる
その対象としての型
Char , Int , [Char] , [Int] 射としての関数
ord :: Char->Int 関手としてのFunctor
List と fmap があるここで
「
*->* なFunctor(ここではList)」が「 * の型同士」の対応付け、「
(a -> b) -> f a -> f b な関数 fmap 」が「関数同士」の対応付けをしていることがわかる
なので、両方ともHask圏の対象同士、射同士を同時に対応付けている
圏論風に書くと
f :: Int -> Char は、 List f :: List Int -> List Char になっているこの
List f というのが、Haskellで言う fmap f なのであるカインドが
*->* な型コンストラクタだけを考えるだけではダメなんだなFunctorにするために、
そのただの型コンストラクタに、
fmap の実装を強制することによって、初めてその型コンストラクタが関手たりうる。
だから、ただの多相な型
Human a のような型コンストラクタはFunctorではないhsfmap id == id -- T1
fmap (f . g) == fmap f . fmap g -- T2一応ListがFunctor則を満たすことを確認する
hsfmap id [1,2,3] == [1,2,3]
id [1,2,3] == [1,2,3]
f = (+ 1)
g = (* 2)
fmap (f . g) [1,2,3] == [3,5,7]
(fmap f . fmap g) [1,2,3] == [3,5,7]↓これ書く意味あるのか？
T1.hsfmap id [] == []
fmap id (x:xs) == id x : map id xs == x : map id xsT2.hsfmap (g . f) [] == []
fmap (g . f) (x:xs) == (g . f) x : map (g . f) xs参考
Hask圏以外の圏のFunctorを作る