自然同値, natural equivalenceともいう

「2つの関手が本質的に同じ」ということを表す

関手圏Funにおける同型射のこと

自然変換\thetaが関手圏Fun\mathscr{A}^\mathscr{B}における同型射\Leftrightarrow\thetaが自然同型

関手圏Funの対象として同型であるような関手を自然同型という

関手圏Funの射として同型射であるような自然変換を自然同型という

つまり、可逆な自然変換

定義

関手圏Funにおける同型射のことを自然同型という

上の定義の同値な言い換え

この自然変換\alphaについて、

以下の2つは同値である

①\alphaは自然同型である

②\alpha_A: F(A)\to G(A)が各A\in\mathscr{A}について、(\mathscr{B}における)同型射である

マクロ(関手同士)で見たときの同型性と、ミクロ(対象同士)で見たときの同型性が、同じである、という主張

証明

ref 自然変換の各成分が同型射のとき、その自然変換は同型

「Aについて自然にF(A)\cong G(A)」とは

関手F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}について、FとGが自然同型であることをいう

F,Gが同型なので、それの写し先であるF(A),G(A)が同型になるのは、ごくごく自然に見えるね

自然同型と充満忠実関手の関係性

関係性

自然同型、充満忠実関手、圏同値、

本質的に全射、充満関手

関手F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}ついて、

G\circ F =1_\mathscr{A}であることと

G\circ F\cong 1_\mathscr{A}であることはどう違うか

これは、自然同型

これは、「G\circ F」と「1_\mathscr{A}」の間に、自然同型\alphaが存在すること

\alphaはもちろん自然変換