全単射かつ準同型の写像があるとき、その写像のことを同型という

\phiが準同型で逆写像を持ち、逆写像も準同型のとき、\phiは同型である、という

このとき、写像の対象G_1,G_2も同型であるといいい、G_1 \cong G_2で表記する

定義

2つの準同型f,gが存在し、f:G\mapsto G',g:G'\mapsto Gを満たし、かつ写像の合成が恒等写像となるとき、GとG'を同型、という

↑「~となるとき」のとこって、fが全単射ってことをいいたい？

このときfのことを同型写像という

線形写像が全単射なら同型写像になる？ ref

性質

\phi:G_1\rightarrow G_2が同型写像なら、

x\in G_1と\phi(x)\in G_2の位数は同じ

|G_1|=|G_2|も成り立つ

例

\mathbb{Z}_nと\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_nは環として同型

要素数が2の群は全て同型

複数あるように見えてもそれは同型

写像\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_\gtを\phi(x)=e^xとする

\phi(3)=2^3=8, \phi(2)=2^2=4であり、\phi(3+2)=2^{3+2}=2^32^2=\phi(3)\phi(2)なので\phiは準同型

指数関数は\mathbb{R}から\mathbb{R}_\gtへの全単射なので\phiは同型

逆写像は対数関数

圏の対象の同型

対象Aから対象Bへ同型射があるとき、AとBは同型であるという

A\cong Bと表記

AとBは本質的に同じなので、交換することが可能

言い換えるとAから見る圏論的な絵と、Bから見る圏論的な絵は全くおなじになる

「圏論的な絵」とは単純に、対象を点、射を矢印で書いたよく見る圏論の図のことを言ってる

参考