可逆な射のこと

定義

f:X\rightarrow Yが同型射であるとは、

逆射g:Y\rightarrow Xで、g\circ f=\mathrm{id}_Xかつf\circ g=\mathrm{id}_Yをみたすものが存在することをいう

X,Yの間に同型射f:X\to Yが存在するとき、XとYは同型と言う

なんでこの関係が「同型」なのか

なんでこの関係が「本質的に同値」なのか

射h:Z\to Xを考えたときに、XとYが区別できないから、それはすなわち「本質的に同値」ということ

g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h=hとなり、

hと「f,gの合成」の合成は、hに等しくなる

対象を意識せずに、射と合成だけに注目すると、X,Yを区別できない

例

集合の圏Setの同型射は全単射

群の圏Grpの同型射は群の同型

どっかのサイトに書いてたことなので正しいかどうかは未確認

位相空間の圏Topの同型射は同相写像

参考

『圏論の道案内』 p.25