order

群の位数

群Gの元の個数

|G|と表記

x^{|G|}=1_G

群の位数が素数のとき、その群は巡回群になる

元の位数

\mathrm{ord}\;{x}と表記

群Gの元xに対して、x^n=1_Gとなる正整数が存在すれば、その中で最小のものをxの位数と言う

もしx^n=1_Gとなる正の正数がなければ、xの位数は\infin

この「x^n」は積の演算に限らないよ

例

\mathbb{Z}\ni x\ne0の位数は\infin

群(\{i,-1,-i,1\},*)の位数は

群の位数と、元の位数の関係

有限群Gの元gの位数は、|G|の約数になる

p.70 2.4.5

問. Gを群、g\in Gを位数60の元とするとき、g^{35}の位数を求めよ

考え方

位数はg^n=1_Gを満たす最小の正整数nということを思い出す

つまり、1_G=g^{60}=g^{120}=g^{180}\cdotsが成り立つわけである

また、いま求めようとしているのは(g^{35})^x=1_Gとなるxである

つまりg^{60n}=g^{35x}を満たすxを探せばいい

x=\frac{12}{7}nとなるので、n=7を代入すれば、最初のx =12が得られる

ちなみにここでは最小公倍数を使ってた

解法としてはこっちの方がスマートである

ただ、最初なんで最小公倍数を使うのか全然わからなかった

参考