定義

次の4つの公理を満たす集合Gを群という

1. 演算が定義されており、その結果が元

Gの任意の元a, bに対し、a\circ bがGに属する

2. 結合法則

Gの任意の元a, b, cに対し、以下の結合則が成り立つ

a \circ (b \circ c) = (a\circ b) \circ c.

3. 単位元の存在

Gの任意の元aに対し、以下を満たす単位元eがGに存在する

a\circ e = e\circ a = a

4. 逆元の存在

Gの任意の元aに対し、eを単位元として以下を満たす逆元bがGに存在する

a\circ b = b \circ a = e.

この逆元をb = a^{-1}と表す

\circは群における加法あるいは乗法のいずれか1つ

群の単位元は一つしかない

証明

1, e'が単位元の性質を満たすとすると、1e'=1=e'となる

逆元は一意的に決まる

証明

b,b'をaの逆元とすると、b=(b'a)b=b'(ab)=b'

位数が有限な群

位数が有限でない群

Xの置換全体からなる群のこと

n次の置換

p.25

長さmの巡回置換

p.25

様々な群

p.31

p.31

p.31

任意の射が可逆であるモノイドが群

参考