n\times nの正則行列全体の集合

単位行列が単位元

逆行列が逆元

積に対しては結合律が成り立つ

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})や\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})や\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})などと表記

n次の一般線形群

\mathbb{R}のときは、正則行列の成分が実数である場合のこと

定義

\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})=\{A\in M_n(\mathbb{R})|\det A\ne0\}

M_nはn次正方行列全体

A\in M_n(\mathbb{R})が正則\Leftrightarrow\det{A}\ne0

A\in M_n(\mathbb{Z})が正則\Leftrightarrow\det{A}\pm1

refの3.2参考

\det{A}\ne0ならばA\in M_n(\mathrm{Z})はM_n(Q)の要素としては正則

しかし逆行列A^{-1}はM_n(Q)に属するが\det{A}=\pm1でない限りはM_n(\mathbb{Z})には属さない

参考