『数学ガール 2 フェルマーの最終定理』
2008/7/30
暗号っぽい話が多い
数論か
1章
完全巡回できるのは、文字盤の数とステップ数が互いに素のとき
2章
ピタゴラスの定理
ピタゴラス数
原始ピタゴラス数
自然数a,b,cの間に、関係式a^2 + b^2 = c^2が成り立ち、さらにa,b,cの最大公約数が1に等しい
このとき(a,b,c)の三つ組を「原始ピタゴラス数」と呼ぶ
3章
素数指数表現
素因数分解し、素因数の指数に着目
4章
\sqrt{2}が有理数であることの別証明
5章
砕ける素数
ガウスの整数で因数分解できる素数
例えば2とか
(1+i)(1-i)に因数分解できる
砕ける素数は4で割ると余りが3になる素数である
ガウスの整数
a+bi
\mathbb{Z}[i]
6章
元
集合の要素
{偶数, 奇数}は
+ に関して群をなすx^n=1のn個の解の集合は乗算に関してアーベル群になる
7章
modの定義
a\mod b = r \iff a=bq+r (0 \leq r<|b|)
★法と互いに素な数なら、合同式の両辺を除算することができる
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}.
抽象代数学
8章
フェルマーの最終定理
次の方程式はn \geq 3で自然数解を持たない
x^n + y^n = z^n
問題そのものは誰でも理解できるにもかかわらず、350年以上誰も証明できなかった
数学の問題は往々にして専門家でないと問題すら理解できないものが多いが、フェルマーの最終定理はシンプル、という理由もあり有名になった
フェルマーが問題を書き残したのが1637年頃、
ワイルズが証明した論文を提出されたのが1994年
無限降下法
フェルマーの得意技
9章
オイラーの式
e^{i\pi}=-1
2^{n-1}は2^nの\frac{1}{2}になっているので、2^0=1という説明良いな
小さい子にも教えやすそう
well-defined
全てに辻褄が合う定義
10章
3世紀ごろの数学者
「算術」を書いた
17世紀
初等整数論の時代
19世紀
代数的整数論の時代
20世紀
幾何学的数論の時代
代数的整数環では、素因数分解の一意性は成り立つとは限らない
理想数
クンマー
イデアル
集合の形
素因数分解の一意性がある
全ての楕円曲線は、モジュラーである
楕円曲線と保型形式を結ぶ