同値類の群ver.

ref 同値類と剰余類を見比べる

剰余に着目した同値関係関係による同値類

一般に「剰余類」というと左剰余類のことを指す

Gがアーベル群なら左剰余類と右剰余類は一致する

定義

群Gと、その部分群Hに対し、適当にg\in Gを選んだ時の

gH=\{gh|h\in H\}のこと

剰余類の同値関係の定義

HをGの部分群、x,y\in Gとする

同値関係x\sim yを、x^{-1}y\in Hで定義している

この定義x^{-1}yは実際に反射律、対称律、推移律を満たす

この関係を以下の様に式変形できるので、その結果、上のような定義になる

C(x)=\{a\in G| x\sim a\}　

剰余類は一般には部分群ではない

自明だが、剰余類の1つのHは部分群

つまり剰余類の少なくとも1つは部分群になってる

剰余類の性質

剰余類同士の位数は等しくなる

|Ha|=|Hb|,(\forall a,b\in G)になる

ref ラグランジュの定理

同じ剰余類に属する元は、準同型によって全て一つの同じ元に移る ref

核Kerを一般化したもの

表記

左剰余類の集合G/H

右剰余類の集合H\backslash G

指数(G:H)は、G/HやG\backslash Hの元の個数

関連

剰余類のどの辺が「剰余」？

名前の意味

これとか読めばわかる

参考