「集合Sの元xと同値関係な元」の集合

集合Sを、同値なもののグループに分けている

集合Sを、同値なもの同士に類別している

定義

\simを集合S上の同値関係とすると、

x\in Sに対し、C(x)=\{y\in S|y\sim x\}をxの同値類という

性質

任意のy,z\in C(x)に対し、y\sim z

定義ではxとの同値関係だったが、それ以外同士も同値であるという主張

もしy\in C(x)ならC(x)=C(y)

もしx,y\in SでC(x)\cap C(y)\ne0ならC(x)=C(y)

複数の同値類の間には重複した元はない

同値類は、S被りなくグループ分けしている

上の性質は p.49の図が直感的でわかりやすい

同値なものどうしは、全て線が引かれ

同値でないものどうしは、完全に独立する

この四角形が「Sの同値類」の一つ

この図では同値類が3つある

例

関連

同値関係による商集合

参考

『代数学 1 群論入門』 p.48-