剰余類環とも言う

イデアルによる剰余によって定義された環

特殊な場合の剰余群と言える

群と環の関係的にそらそう、という感じだが

基本的なこと、前提

剰余環は環である

元が剰余類(とある集合)である環である

つまり剰余環の元は集合である

逆に言えば、剰余環は集合の集合である

集合同士の演算を定義することで、集合の集合が環になっているのである

a+Iという表記の意味

これは集合である

\{a+x|x\in I\}という集合を表している

aはいったんなんでもいいが以下の話ではa\in Rとする(後述)

剰余環の元は、「a+Iという集合」である

これが環であるためには以下のような式が成り立つ必要がある

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

(a+I)(b+I)=(ab)+I

これが本当に成り立つのか、そして自然に成り立つのか、などを以下で見ていく

定義

Rを環、Iをその両側イデアルとする

a\in Rに対し、a+I:=\{a+x|x\in I\}という同値類を考える

このような同値類全体の成す集合をR/Iと表記する

言い換えれば

a+Iの形に書けるRの部分集合全体の集合である

a+IはRの部分集合なので。

ちなみに

a+Iのことをa\mod Iとも書く

このR/Iは以下2式を演算とする環になる

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I

しつこいが 集合 + 集合 = 集合 という話をしている

(a+I)(b+I)=(ab)+I

これら2式は、イデアルの定義などからwell-definedに導かれる

これは環なので、分配律や交換律などの環を構成するための条件は諸々成り立つ

表記

R/Iと表記する

逆に言えば、

「A/Bは剰余環である」と書いてあれば、

Aは環であり、Bはそのイデアルである、ことも自動的に言っていることになる

定義にイデアルを用いることで自然に環になっているのがミソ

詳しくは pp.24-25

R/Iがアーベル群になっていることの確認

Rは加法に関しアーベル群であり、(∵環の定義)

Iは加法に関しRの部分群なので、(∵両側イデアルの定義)

Iは加法に関し正規部分群である

ここまではわかる

従って、加法に関する剰余類の集合R/Iは自然にアーベル群になる

ここがわからん #??

環/正規部分群 == アーベル群 に自然になるのがピンときていない

性質

Rが可換環ならば、R/Iも可換環になる

例

\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},..,\overline{m-1} \}

mを法とする\mathbb{Z}の剰余環

\overline{a}は剰余類を表す

例えば\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},..,\overline{5}\}

これは「6で割りきれる数の集合」「6で割ると1余る数の集合」、、「6で割ると5余る数の集合」という集合の集合

こっちは違うものを指してる？