gH=Hgが成り立つような群Gの部分群Hのこと

\forall g\in G

H\triangleleft GまたはG\triangleright Hと表記する

もともと部分群をH\le Gのように書くので、そこに縦線1本足した感じ

定義

Hを群Gの部分群とする

全てのg\in G,h\in Hに対し、g^{-1}hg\in Hとなるとき

HをGの正規部分群という

\forall g\in Gに対し、 g^{-1}Hg\in Hと言っても同じこと

gH=Hgと言っても同じこと

これが一番わかりやすい

以下が成り立つときもHは正規部分群

\forall a,a',b,b'\in Gに対し、

Ha=Ha',Hb=Hb'\Rightarrow Hab=Ha'b'

gH=Hgの意味

gHもHgも集合である

つまりgH=Hgは集合同士の同値性を主張している

左剰余類と右剰余類が常に一致する部分群

両辺のgは同じものだが、h\in Hは別物でも成り立つことを表している

例えばgh_1=h_3gみたいな

集合全体で何かしら対応があればいい

アーベル群の部分集合は全て正規部分群になるが、これは自然にgh_n=h_ngが成り立つパターン

「何かしらの対応」が自然に決まる

何が嬉しいのか

話の流れとしては、まず剰余類G/Hを見ていた

剰余類は群を類別したものの集合で、

つまり集合の集合であった

この集合同士の間に演算を定義できれば面白いんじゃないか？という発想

そうすれば、ただの集合の集合だったものが、集合の群に昇格する

そこで、集合同士の演算をどうにか定義したいという話になる

a,b\in Gに対し、aH, bHという2つの集合を演算して、abHにしたい、と考える

(aH)(bH)\stackrel{\mathrm{def}}{=}abH

この定義は、代表元a,bの取り方に依らないことが要請される

つまり、well-definedであってほしい

そのためには、aH=Hbのような制限が必要になる

この流れはヨビノリの動画がわかりやすかった

普通は(?)、逆の流れで説明されるので分かりづらい

正規部分群があると、well-definedに集合の演算が定義できますよ、という流れ

正規部分群の例

G自身も正規部分群

p.56-に載ってる

アーベル群の部分群は全て正規部分群

参考