群の元の集合の部分集合が群の公理を満たしていれば部分群になる

以下の２つを「自明な部分群」という

最小の部分群は1_G

最大の部分群はGそのもの

全ての群Gに対し、絶対に存在するから

自明な部分群以外の部分群のことを真部分群という

存在するかどうかは群による

H\le Gと表記する

定義 ref

Gを群、H\subset Gが以下を満たすときHはGの部分群となる

a,b\in H\Rightarrow ab\in H

演算が閉じている

a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H

逆元が存在する

結合律については、部分集合の時点で自動的に成り立つのでわざわざ明示しなくていい

単位元については上２つを使いb=a^{-1}とすれば導出できる

もっとシンプルな定義 ref

a,b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H

途中を書くとa,b\in H\Rightarrow a^{-1},b\in H\Rightarrow a^{-1}b\in H

部分群の例

p.30

参考