とある、環の部分集合

イデアルは加群の特別な場合

R \triangleright Iと表記する

環Rの部分集合Iがイデアルの時

定義

Rを環とする

部分集合I\sub Rが以下の条件を満たすとき、Rのイデアルと言う

IはRの加法に関して部分群である

\forall a\in R,\forall x\in Iに対し、ax\in Iである

定義

Rを環とする

部分集合I\sub Rが以下の条件を満たすとき、Rのイデアルと言う

0\in I

加法に関する単位元を含む

\forall x,y\in I\Rightarrow x+y\in I

\forall a\in R,\forall x\in Iに対し、ax\in Iである

こっちの方がぱっと分かる

和

I+J=\{x+y| x\in I,y\in J\}

イデアルの和はイデアル

例

I=\mathbb{3Z}, J=\mathbb{2Z}とすると、I+J=5\mathbb{Z}になる

積

IJ = xy\;(x\in I, y\in J)

I=JのときはI^2と表記する

I^0=Rである

イデアルの積はイデアル

例

I=\mathbb{3Z}, J=\mathbb{2Z}とすると、IJ=\mathbb{6Z}になる

例

n\mathbb{Z}は環\mathbb{Z}のイデアル

参考