定義に、環Rとアーベル群Mが出てくるが、Mの方を「R加群」と呼ぶ

単に「加群」とも呼ぶ

ModuleのMだね

ベクトル空間のスカラーを環にしたやつ

定義

左R加群に書いた

左R加群の定義をaxの代わりにxaとしたもの

作用

MがR加群であるとき

a\in Rによる写像M\ni x\to ax\in Mを

aの作用とも言う

関連

\mathbb{Z}加群

p.8

例

Rが(可換)体であるとき

R加群のことを、ベクトル空間と言う

Rが斜体のとき、左加群のことを左ベクトル空間と言う

Rが斜体のとき、右加群のことを右ベクトル空間と言う

環R自身

定義をR=M, R=Rとして考えればいい

R\times R\to Rとする

これ特殊な名前付いていないのかな

R\times I\to Iとする

イデアルは環の部分集合なので、アーベル群

\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}とか

何が嬉しいのか

加群は以下のようなものの一般化として捉えられる

ベクトル空間のスカラーを体上ではなく、環上にして定義したもの

故に、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる

加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つである

環上でない加群ってあるの？

ないならなんでわざわざ「環上の」ってつけるの？

モノイドとの関連

参考

『代数学 2 環と体とガロア理論』 p.92~

圏と加群という本がある