インフォーマルな定義

以下の集合と演算により環が定義できる

集合A[x]について

係数がa\in Aの多項式

「A上の多項式」という言い方をする

\mathbb{N}からAへの写像

A係数の、変数xの多項式全体の集合をA[x]と表記する

A\sub A[x]という関係になる

Aの元は、多項式全体の集合の中の定数項になる

演算について

和と積の演算を以下の式で定義する

f(x)\circ g(x)=\sum^n_{i=0}\sum^m_{j=0}a_i\circ b_j x^{i+j}=\sum^{n+m}_{l=0}(\sum_{i+j=l}a_i\circ b_j)x^l

係数ごとに和積を考えている

式中の「\circ」は + もしくは * ッテ意味だよ

環R上の多項式環 R[x]

可換環Rの元を係数とする多項式全体の集合

これは可換環になる

体F上の多項式環 F[x]

体Fの元を係数とする多項式全体の集合

係数の話なので、次数の大きさは関係ない

例

F_3[x]は係数が0,1,2の多項式

Q係数多項式からなる集合\mathbb{Q}[x]

xの多項式の係数が全て有理数の多項式

多項式の剰余環F[x]/f

体F上の多項式f(x)\in F[x]、\deg f(x)=m\gt1に対して

F[x] /(f(x))=\left\{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{m-1} x^{m-1} \mid a_{i} \in F\right\}　

に加法と乗法を以下のように定義すると環になる

加法: F[x]の加法と同じ

乗法: a(x)b(x)\in F[x]/f(x)=「a(x)b(x)をf(x)で割ったときの余り」

定理

F[x]/f(x)が体 \Leftrightarrowf(x)はF上既約

いい感じノートに切り出したい

表記

R_{n,q}=\mathbb{F}_q[x]/(x^n-1)

x^n-1を法とする、\mathbb{F}_q上の多項式環

一般的な表記かどうかは知らん

定理

Aが整域なら、A[x]も整域である

関連

まだ分解できる