故に、とある既約多項式

原始元を根として有する既約多項式

素体\mathbb{F}_p上既約なh次多項式f(x)\in\mathbb{F}_p[x]は、

f(x)=0の解の一つである\alphaが\mathbb{F}_{p^h}の原始元のとき、

f(x)を\mathbb{F_p}上の原始多項式という

わかりにくい....

乗法位数|\alpha|=p^h-1がなりたつ

例. f(x)=x^2+2x+2が\mathbb{F_3}上の原始多項式であることを示す

つまり、f(x)=0の解の一つである\alphaが、\mathbb{F}_{3^2}の原始元なら題意を満たす

だから\alphaが\mathbb{F_9}の原始元であることを示せばいい

ということは、\alpha^{9-1}の時に初めて1になればいい

f(x)は既約

定義的に一応確認しておく必要がある

f(\alpha)=0とする

\Rightarrow \alpha^2=\alpha+1

これから、\alpha^3, \alpha^4,..と調べていくと\alpha^8のとき、初めて1になる

故に|\alpha|=3^2-1

よってf(x)は原始多項式

定理

f(\alpha)=0 \Leftrightarrow f^{*}\left(\alpha^{-1}\right)=0が成り立つ

f(x)が原始多項式\Leftrightarrowf^\ast(x)は原始多項式

補足

f^\astは、fの相反多項式

定理23.2

f(x)\in\mathbb{F}_p[x]に対して、f(\alpha)=0\Rightarrow f(\alpha^p)=f(\alpha)^p=0

例

p= 2,h= 3のとき、

\prod_{a\in\mathbb{F}_8}(x-a) =x^8-x=x(x+ 1)(x^3+x+ 1)(x^3+x^2+ 1)　

f_1(x) =x^3+x+ 1で、f_1(\alpha)=0

f_2(x) =x^3+x^2+ 1

とすると、\alpha^3+\alpha+ 1 = 0と1 + 1 = 0より

\alpha^3=\alpha+ 1

\alpha^4=\alpha^2+\alpha

\alpha^5=\alpha^3+\alpha^2=\alpha^2+\alpha+ 1

\alpha^6=\alpha^3+\alpha^2+\alpha=\alpha^2+ 1

\alpha^7=\alpha^3+\alpha= 1

\therefore |\alpha|=7=p^h-1よりf_1は原始多項式

f^\ast_1=f_2より、f_2も原始多項式

f^*はfの相反多項式

\alpha^p=\alpha^2, (\alpha^2)^p=\alpha^4と定理23.2より、

f_1(\alpha) = 0\Rightarrow f_1(\alpha^2) =f_1(\alpha^4) = 0

\therefore f_1(x) = (x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)

f_2=f^\ast_1より、f_2(\alpha^{-1}) = 0が分かる

ここで\alpha^{-1}=\alpha^{-1}\alpha^7=\alpha^6

(\alpha^6)^2=\alpha^5

(\alpha^5)^2=\alpha^3

なのでf_2(x) = (x-\alpha^6)(x-\alpha^5)(x-\alpha^3)

以上により、

f_1は \alpha, \alpha^2, \alpha^4の\mathbb{F}_2上の最小多項式（\alpha^2と\alpha^4はの共役根）

f_2は\alpha^3, \alpha^5, \alpha^6の\mathbb{F}_2上の最小多項式である。

\mathbb{F}_q上のh次多項式fについて考える時に

既約多項式を考えるときは、xの取りうる選択肢は0,1,\cdots,q-1だけだったのに、

原始多項式を考える時はxの取りうる選択肢は0,1,\cdots,p^h-1になるの？

考え方としてそうなだけで別にxには何を入れても良いのか

関連

もう一つの「原始多項式」

「原始多項式」が指すものは２つある

このノートに書かれているのは体論の原始多項式

もう一つは、環論の原始多項式

係数の最大公約数が1になる多項式

高校数学にも出てくる