多項式環の既約元のこと

既約分解しきった多項式のこと

以下をすべて満たす整数係数多項式は有理数体\mathbb{Q}上既約である

最高次の項の係数が p で割り切れる

それ以外の係数が p で割り切れる

定数項が p^2 で割り切れない

その多項式が既約多項式かどうかの判定

\mathbb{F}_q上の多項式なら、f(0),\cdots,f(q-1)を見て、全て0でなければ既約多項式

これ以上割り切れないという意味なので

例: \mathbb{F}_2上の多項式を考える

f(x)=x^3+x+1は既約多項式である

何故ならf(0),f(1)\ne 0だからこれ以上割り切れない

f(x)=x^3+x^2+x+1は既約多項式ではない

何故ならf(1)=0であるので、少なくともx+1で割り切れる

最終的に(x+1)^3に変形できる

x^3は既約多項式ではない

なぜなら、x^3はxやx^2で割り切れるから

普通に考えてx^nだけの形のものは、既約多項式ではない

「x」自体は、既約多項式

x=3みたいにして、素因数分解とアナロジーすればわかりやすい

27は素数ではない、3は素数である

定理

f(x)が既約\Leftrightarrowf^\ast(x)が既約

補足

f^\astは、fの相反多項式

参考