f(x)=a_0+a_1x+\cdot+a_rx^rに対して、

f^*(x)=x^rf(x^{-1})=a_r+a_{r-1}x+\cdot+a_0x^rのことを

f(x)の相反多項式という

次数も変わりうる

もちろん変わらないこともある

例

f(x)=3x^3+2x^2+xの相反多項式は、f^\ast(x)=x^2+2x+3

見たら分かる通り、次数も変わりうる

定理

f(\alpha)=0 \Leftrightarrow f^{*}\left(\alpha^{-1}\right)=0が成り立つ

f(x)が既約\Leftrightarrowf^\ast(x)が既約

f(x)が原始多項式\Leftrightarrowf^\ast(x)は原始多項式

\mathbb{F}_2上の多項式であるf(x)=x^3+x^2+xって既約じゃないじゃん

その相反多項式f^*(x)=x^2+x+1って既約じゃん

上の定理の2番め成り立たないじゃん

どこがおかしい？？

「次数が同じ多項式に限る」みたいな制限があるのか？

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