定義

以下の2つを満たす整域Aのことを、一意分解環と言う

任意のAの元a\ne0は

単元であるか、

有限個の素元p_1,\cdots,p_nが存在して、a=p_1\dots p_nとなる

p_1,\cdots,p_n, q_1,\cdots,q_nが素元で、p_1\cdots p_n=q_1\cdots q_nなら、

n=mであり、

置換\sigma\in\mathfrak{S}_nがあり、

i=1,\cdots,nに対しq_{\sigma(i)}とp_iが同伴となる