線形空間とも言う

とある集合

Rが体であるときの、R加群

元はベクトル

体F上のベクトル空間Vの公理

ベクトルは加法に関してアーベル群である

1. \bm{a},\bm{b} \in V \ \Rightarrow \ \bm{a+b} \in V

加法が閉じている

2. \bm{a}+(\bm{b}+\bm{c})=(\bm{a}+\bm{b})+\bm{c}

加法の結合則

3. \bm{a}+\bm{b} = \bm{b} + \bm{a}

加法の交換則

4. \bm{a}+\bm{0}=\bm{0}+\bm{a}=\bm{a}

加法の単位元\bm{0}が存在

\bm{0}は「0ベクトル」

5. \bm{a}+(\bm{-a})=(\bm{-a})+\bm{a}=\bm{0}

加法の逆元が存在

スカラー\forall\lambda,\mu\in Fは以下を満たす

6. \lambda \bm{a} \in V

スカラー積が閉じている

7. \lambda (\mu \bm{a})=(\lambda \mu)\bm{a}

スカラー積の結合則

8. 1\bm{v}=\bm{v}

スカラー積の単位元1が存在する

加法とスカラー積に分配律が成り立つ

9. (\lambda+\mu)\bm{a}=\lambda \bm{a} + \mu \bm{a}

体の加法に対するスカラー乗法の分配律

左辺の + はスカラー界のものだが、右辺の + はベクトル界のもの

10. \lambda (\bm{a}+\bm{b})=\lambda \bm{a} + \lambda \bm{b}

加法に対するスカラー乗法の分配律

公理についての補足

ベクトル空間の元のことを「ベクトル」と呼ぶ

ベクトルは加法に関してアーベル群である(1~5)

スカラー\lambda\in Fそのものは体であるという前提がある

逆に言えば上の定義での\lambda\in Fのことを「スカラー」トと呼ぶ

その前提の元でスカラーとベクトルの関係が定義されている(6~10)

なので上のような定義の前置きに以下のように書かれていたりする

体にもいくつか種類があるので、

実数体上のベクトル空間を考えれば実ベクトル空間

複素数体上のベクトル空間を考えれば複素ベクトル空間

と呼ばれる

性質

0\bm{a}=\bm{0}

左辺の0はスカラーのもので、右辺の\bm{0}はベクトルであることに注意

(-1)\bm{a}=-\bm{a}

以下の話は、ベクトル、スカラーのどちらについて話しているのかを注意すること

こっちはベクトル空間の元そのものが、体になっているのかを問い

こっちはスカラーを体上で考えるのはなぜかを問うている

全く別の話をしているので混同しないように注意

参考

わかりやすいが、公理の8番目って公理の一つとしてわざわざ書くべき条件なのか？

寧ろ体の加法に対するスカラー乗法の分配律が抜けている気がする