部分R加群と言ったりもする

定義

Rを環、MをR加群とする

部分集合N\sub MがMの演算によりR加群となるとき

NをMの部分加群と言う

Nは空でないMの部分集合

以下の条件が成り立つことと、N\sub Mが部分R加群であることは同値

Nは、Mの加法に関して、Mの部分群である

a\in A, n\in Nならan\in Nである

作用に関して閉じている

イデアルの定義と同じことを言っていることがわかる

x\in Mの生成するMの部分加群\{ax|a\in R\}のこと

「xの生成するMの部分加群」と言う

x\in Mを含む最小の部分加群である

\lang S\rang

S\sub Mのとき

Sの有限個の元の一次結合全体の集合

これはMの部分加群である

Sにより生成された部分R加群と言う

表記

\sum_{x\in S} Rxとか

S=\{x_1,\cdots,x_n\}なら

\lang x_1,\cdots,x_n\rangとか

Ax_1+\cdots + Ax_nとか

と表記する

例

M自身

R自身を左R加群と見た時R\times R\to Rとなるが、

RのイデアルIに注目すればR\times I\to Iとなって、これは部分加群となっている

I\sub Rだからね

参考

『代数学 2 環と体とガロア理論』 p.97~99