具体例で見る剰余類
以下はイメージを思い出すためにざっくり書いているので厳密な定義などは各ページなどを参照
整数と加法の演算を考えた群\mathbb{Z}について見る
3で割り切れるものを集めた集合A=\{0,\pm3,\pm6,\pm9,\cdots\}は、\mathbb{Z}の部分群になる
普通はこういうAのことを3\mathbb{Z}と表記する
このAを一つの剰余類とすると、その定義により以下のようにグループ分けできる
Bは3で割った剰余が1になる集合
Cは3で割った剰余が2になる集合
このとき、Aは群になっているが、B,Cは明らかに群ではない
単位元がないでしょ
これらの集合A,B,Cそれぞれのことを剰余類と言う
図を見ても分かる通り、
剰余類同士は共通部分を持たないし
和集合が\mathbb{Z}になることがわかる
\mathbb{Z}=A\cup B\cup C
定義に近いところを確認してみる
g+A=\{g+a|a\in A\}が成り立つかの確認をする
例えば適当にgとして4を選んで、4+aを考えると
4+(-3)=1
4+0=4
4+3=7
4+6=10
とやっていけば、4+aの形ですべてのBの元を表すことができている
同じ剰余類の元同士は、同値関係である
同値関係とは、反射律、対象律、推移律を満たす二項関係のことだった
ここでは、Aの元はすべて「a\equiv 0 \pmod 3」になる同値関係である
つまり、合同関係による同値関係である
剰余類を考えたとき、同値類は剰余類と同じものを指している
同値類とは、同値関係な元の集合のことだった
ここでは、Aは剰余類であり、同値類である
B,Cも同じ
剰余類の商は\mathbb{Z}/\equiv_3=\{A,B,C\} のこと
商集合とは、同値類全体の集合のことだった
ここでは「同値類」は「剰余類」のことなので、それら全体の集合\{A,B,C\}が商になる
剰余類の文脈では、商\mathbb{Z}/\equiv_3のことを、\mathbb{Z}/A=\{A,B,C\}と書く
G/HのHは部分群なので、\mathbb{Z}/Bや\mathbb{Z}/Cなどとは書けない
\mathbb{Z}を部分群Aで割ったもの
これが左剰余類
指数(\mathbb{Z}:A)は何個にグループ分けされるか
\mathbb{Z}/Aの位数のこと
今回は\{A,B,C\}の個数のことなので(\mathbb{Z}:A)=3
ラグランジュの定理は、それぞれのグループの元の個数が同じであると言っている
ラグランジュの定理は|G|=(G:H)|H|のことだった
今回で言えば|\mathbb{Z}|=3*|A|だと言っている
各グループの位数|A|,|B|,|C|が等しく、
それらの合計がもとの群Gの位数|G|に等しくなる
ことを言っている
当たり前に、一つの群Gに対し、部分群のとり方は複数考えられる
一つの部分群が決まりさえすれば、GからHを除いた残りの部分も自動的にグループに分けられる
そういうふうに部分群Hを決めることはできない？
右剰余類と左剰余類が考えられる
右剰余類と左剰余類が一致するような部分群Hのことを正規部分群という
Hのとり方によって、正規部分群の演算が成り立つことと成り立たないことを具体例を用いて解説している動画 ref
商が群になるとき、その商を剰余群という
部分群Hが正規部分群のときの商のこと
元はA,B,C
演算は、(A+g)+ (A+g')=A+g+g'
もしくは、(g+A)+(g'+A)=g+g'+A
単位元は、A=A+1_\mathbb{Z}
剰余類の商をもっと普通の書き方をするとよく見る\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}になる
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{3\mathbb{Z},3\mathbb{Z}+1,3\mathbb{Z}+2\}
\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}と書いたりもする
\mathbb{Z}/A=\{A,B,C\}と同じことを言っている
今見たようにこれは群になっている
\overline{1}+\overline{2}=\overline{0}みたいな話ができる
(3\mathbb{Z}+1)+(3\mathbb{Z}+2)=3\mathbb{Z}+1+2\in 3\mathbb{Z}
\overline{0}は足しても変わらないので、\overline{0}は単位元とみなせる
\overline{0}+\overline{2}=\overline{2}
\overline{1}の逆元は\overline{-1}=\overline{2}だ
合同計算は剰余群の計算だ
1+2\equiv 0\pmod3