剰余類は、同値類の群versionなので、同値類を理解してさえいれば、ノリで剰余類も理解できる

そのため、同値類と剰余類を全く同じフォーマットに沿って説明する

全く同じことを言っていることがわかると思う

剰余類は、同値類の具体例の1つなので当たり前ではある

感覚的にわかることを目的とするので、曖昧な表現も含む

以下では剰余類と言うと左剰余類のことを指す

集合の世界の話をしている

同値類は、集合Sの部分集合である

同値類は、集合Sを類別している

同値関係\simで類別

定義を書くと、

x\in Sに対し、

C(x)=\{y\in S|y\sim x\}　

同値類の和集合はSになる

S=C(x)\cup C(y)\cup C(z)+\cdots

剰余類と異なる点

同値類同士の位数は、異なることもある

同値類の集合を商集合と呼ぶ

元は同値類C

S/\simと表記する

つまり、S/\sim =\{C(x),C(y),C(z,\cdots)\}

群の世界の話をしている

剰余類は、群Gの部分集合である

剰余類は、群Gを類別している

同値関係\simで類別

x\sim yをx^{-1}y\in Hで定義している

定義を書くと、

x\in Sに対し、

C(x)=\{a\in G| x\sim a\}　

剰余類の和集合はGになる

G=H\cup xH\cup yH+zH\cup\cdots

同値類と異なる点、あるいは、剰余類の性質

剰余類同士の位数は、等しい

「すごく良い類別である」ことがわかる

部分群H自身を含む

1_GH

剰余類の集合を商集合と呼ぶ

元は剰余類xH

G/Hと表記する

つまり、G/H=\{H, xH,yH,zH,\cdots\}

一般に、これだけでは群にはなっていない

Hが正規部分群の時、この商集合は群になる

これを剰余群と呼ぶ

G/H=\{H, xH,yH,zH,\cdots\}は剰余群

Hが正規部分群のとき。