n個の元の置換操作で作ることができるすべての集合

置換操作とはつまり、並べ替えのこと

S_nと表記する

位数はn!

元は「置換操作」を表している

行列っぽく表記されるが全く別物

例えば操作\begin{pmatrix}a&b&c \\ b&c&a\end{pmatrix}にaを適用すると\begin{pmatrix}a&b&c \\ b&c&a\end{pmatrix}(a)=bになる

これは群になる

単位元は順番を何も変えていないもの

逆元は置換をもとに戻すもの

ex. \begin{pmatrix}a&b&c \\ c&a&b\end{pmatrix}の逆元は\begin{pmatrix}a&b&c \\ b&c&a\end{pmatrix}

例

3次対称群

S_3=\{\begin{pmatrix}a&b&c \\ a&b&c\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a&b&c \\ a&c&b\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a&b&c \\ b&a&c\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a&b&c \\ b&c&a\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a&b&c \\ c&a&b\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a&b&c \\ c&b&a\end{pmatrix},\}

単位元は\begin{pmatrix}a&b&c \\ a&b&c\end{pmatrix}

参考