小さな圏\mathscr{A}から、圏\mathscr{B}への関手圏

[\mathscr{A},\mathscr{B}] とか

\mathscr{B}^\mathscr{A}とか

\mathrm{Fun}(\mathscr{A},\mathscr{B})とかと表記する

特に\mathrm{Fun}(2,\mathscr{A})のことを射圏と言ったりする

関手を対象とした圏

対象は関手

射は自然変換

合成は垂直合成

(\beta\circ\alpha)_A=\beta_A\circ\alpha_A

恒等射は恒等自然変換

自然変換1_F:F\Rightarrow Fを

(1_F)_a:=1_{F(a)}で定める

関手圏の具体例

空圏0から\mathscr{A}への関手圏\mathscr{A}^0は、単位圏1に等しい

\mathscr{A}^0=1

単位圏1から\mathscr{A}への関手圏\mathscr{A}^1は、\mathscr{A}に等しい

\mathscr{A}^1=\mathscr{A}

対象や射の話をしていたと思ったが実はそれは関手と自然変換だったのだ！！！