関手の間の射

定義

\mathscr{A},\mathscr{B}を圏、F,G: \mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}を関手とする

2つの関手の定義域と値域が同一であるときのみの話

自然変換\alpha: F\rightarrow Gとは

\mathscr{B}の射の族(F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A))_{A\in\mathscr{A}}であって、

\mathscr{A}の各射A\xrightarrow{f}A'について下図が可換になるもののことをいう

\alpha_{A_2}\circ F(f)= G(f)\circ \alpha_{A_1}が成り立つ

\mathscr{A}の射A\rightarrow A'に対してF(A)\rightarrow G(A')が一つ対応する

\alpha_Xを\alphaのX成分という

もちろんF(A),F(A'),G(A),G(A')\in \mathscr{B}だよ

概念としての自然変換は上の定義のとおりだが、実体としては

上の例で言うなら圏\mathscr{B}の中の(特定の)射の集まりである

「F(A)\to G(A)という射の集まり」や「F(A')\to G(A')という射の集まり」....の集まりである

自然変換の合成には

垂直合成と水平合成がある

圏\mathscr{A}と関手F,Gがあるとすると、

自然変換\alpha:F\Rightarrow Gは、圏\mathscr{A}の対象の数個あるってこと？

例

参考

ベシ圏 3章