最初に関手の復習をしよう。

まず、圏\mathscr{A},\mathscr{B}があって、その間の2つの関手F,Gを考える。

F,Gは関手なので圏\mathscr{A}の任意の対象Aに対して、圏\mathscr{B}の対象F(A),G(A)が定まる。

次に自然変換を考える。さっきの図のここのことだ。

すでに知っている「射」は

対象と対象、の間の対応を表すものだった

また、「関手」は

圏と圏、の間の対応を表すもの、というのを上で見た

そして「自然変換」とは、さらにメタで

関手と関手、の間の対応を表すものだ

可換図式はこうなる

先程の図に縦方向の矢印を加えたものだ。

この縦方向の矢印が自然変換になる

関手から関手への対応だということが見て取れる

上図が可換図式であるということから、以下の関係が成り立つことがわかる。

この点線矢印が唯一つに決まるので以下の等式が成り立つ

\alpha_{A_2}\circ F(f)= G(f)\circ \alpha_{A_1}

可換図式に関しては、結城先生のツイートがわかりやすい。

要は、\mathscr{A}の2対象の間の射f:A_1\rightarrow A_2に対して、一つのF(A_1)\rightarrow G(A_2)が対応する

このとき、

圏\mathscr{B}の射の族\{F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A)\}_{A\in\mathscr{\mathrm{ob}(A)}}のことを自然変換といい、

\alpha:F\Rightarrow Gと表す

射の族とは？って感じなので、ここも丁寧に見てみる。

ここでは\mathrm{ob}(\mathscr{A})を添字集合として考えているのだ。

なので下図のように、集合の中身と、添字は別の話をしていることを前提に置く必要がある。

わかりやすい例を考えよう。

添字集合I=\{1,2,\dots n\}があったとき

\{O_i\}_{i\in I}は有限個の開集合O_1, O_2,O_3,\dots,O_nのことを表す

I=[0,1]があったとき

\{A_i\}_{i\in I}はA_0,A_{0.5},A_{0.33..},A_{\frac{1}{\sqrt{2}}},\cdotsなどになる

他にも無限にある

ここで、話を戻すと

\mathrm{ob}(\mathscr{A})は「圏\mathscr{A}の対象の集まり」であった

これに含まれる任意の対象Aに対して、\{F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A)\}_{A\in\mathscr{\mathrm{ob}(A)}}だと言っているのだ。

もっと具体的に書いてみると

仮に圏\mathscr{A}に対象がn個存在し、それらをA_1,A_2,\cdots,A_nとラベル付けすると、

自然変換は\{F(A_1)\xrightarrow{\alpha_{A_1}} G(A_1),F(A_2)\xrightarrow{\alpha_{A_2}} G(A_2),\cdots,F(A_n)\xrightarrow{\alpha_{A_n}} G(A_n)\}という感じになる

これあってんのか？

A\in\mathrm{ob}(\mathscr{A})と同じ数だけ\alphaがあるってことだよな？

ここで自然変換の定義を振り返る

自然変換\alpha: F\rightarrow Gとは

\mathscr{B}の射の族\{F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A)\}_{A\in\mathscr{A}}であって、\mathscr{A}の各射A\xrightarrow{f}A'について下図が可換になるもののことをいう

つまり\alpha_{B}\circ F(f)= G(f)\circ \alpha_{A}が成り立つ

例えば、fが恒等射だったとき、どうなるかを考えてみよう

f:A\rightarrow Aに対する自然変換を考える

f=1_A

関手F,Gを考えると

F(f):F(A)\rightarrow F(A)

G(f): G(A)\rightarrow G(A)

となる

つまりF(f)=1_{F(A)},G(f)=1_{G(A)}だ

同じように図にするとこうなる

↑は同じものを2回描いているので、もっと簡潔に以下のように描ける

なので可換の条件もわかりやすい

1_{G(A)}\circ \alpha_A=1_{F(A)}\circ\alpha_Aなのでこれはつまり、\alpha_A=\alpha_Aのことである

\mathscr{A}の2対象の間の射f:A_1\rightarrow A_2に対して、一つのF(A_1)\rightarrow G(A_2)が対応すると言ったが

この「一つの射」がまさに自然変換\alpha_Aそのものになる

\mathscr{A}を離散圏とし、F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}を関手とすると

関手は\mathscr{B}の対象の族(F(A))_{A\in\mathscr{A}}

自然変換は\mathscr{B}の射の族(F(A)\xrightarrow{\alpha_A}G(A))_{A\in\mathscr{A}}

参考