有向グラフのパスの圏
圏\mathcal{I}=(I, \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right))
有向グラフに合成を定義したもの
\mathrm{Path}みたいな圏の名前ついていないんだね、意外と
圏の構成
有向グラフ(I,(J(i,i'))_{i,i'\in I} )に対して
対象
有向グラフの頂点i\in I
射
有向グラフの路
辺ではなく
つまり、iからi'へ行く辺の組を1つの射と見ている
有向グラフの図が圏っぽいから誤解がないように注意が必要
合成
\circ: \widetilde{J}\left(i', i''\right)\times\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)\to \widetilde{J}\left(i, i''\right);(\varphi,\psi)\mapsto \varphi\circ\psi
(\varphi_n,\cdots,\varphi_1)\circ(\psi_m,\cdots\psi_1):=(\varphi_n,\cdots,\varphi_1,\psi_m,\cdots\psi_1)
イメージ通り
恒等射
\mathrm{id}_i:=\widetilde{J}\left(i, i\right)_0
イメージ通り
記号の意味
↑にはもう少し詳細に定義が書かれている
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)=\coprod^\infin_{n=0}\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_{n}
有向グラフの辺を辿ってiからi'へ行く行き方全体の集合
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_{n}
有向グラフのn個の辺を辿ってiからi'へ行く行き方全体の集合
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_n\sube\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)という関係
元は辺の組(\varphi_n,\cdots,\varphi_1)で、それをつなげればiからi'の1つの路となる
nは、iとi'の間にある辺の個数を表すことになる
だからn=0, i=i'なら、iに対する恒等射のみを持つ1元集合\{\mathrm{id}_i\}になる
n=0,i\ne i'なら、そんな辺は存在しないので空集合になる
例えばこんな有向グラフだとすると
こんな感じになる
\widetilde{J}\left(i, i\right)_0=\{\mathrm{id}_i\}
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_0=\emptyset
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_1=\{\varphi_4\}
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_3=\{(\varphi_3,\varphi_2,\varphi_1), (\varphi_7,\varphi_6,\varphi_5)\}
\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)=\{\varphi_4,(\varphi_3,\varphi_2,\varphi_1), (\varphi_7,\varphi_6,\varphi_5)\}
参考
『層とホモロジー代数』 p.14~
>↓昔のメモ、一応残しているが、自分でも何言っているのかよくわからん
このDiGraphから集合の圏Setへの関手が、有向グラフの具体例になる
有向グラフは、
辺の集合
頂点の集合
辺ごとの、(始点、終点)の写像
の組
と考えられる
具体例をかいて？？？？？？？？？？
このDiGraphが「有向グラフ」の「概念」を表してる感じ
Setへの関手が具体例
この対応を見ると、関手圏Funがすごく具体的に想像できるようになる
関手圏[\mathrm{DiGraph},\mathrm{Set}]の対象が、一つ一つの具体的な有向グラフになる
これの、射つまり自然変換は
有向グラフの構造を保つ対応付けをするもの
とみなせる
『圏論の道案内』 p.62-, p112
昔読んだ時、意味不明だった
手元にないので参照できない