\mathscr{B}側の、ぼっちの対象が、

ぼっちでない対象のどれかと同型である状態

定義

関手F:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}について、

各B\in\mathscr{B}について、あるA\in\mathscr{A}が存在し、

F(A)\cong Bになること

\congは同型

上の定義の中の最後の条件がF(A)=Bとなるなら

本質的に全射よりももっと厳しく、「対象について全射」になる

つまり、「対象について全射」は、「対象について本質的に全射」でもある

対象について本質的に全射と充満関手の違い

全射性を、対象に見るか、射に見るか、の違いがある

なので全く違うもの

言うなれば、充満関手は「射について全射」

「全射」のほうが、「本質的に全射」より厳しいので

「全射」ならば「本質的に全射」でもある

なので

充満(だが|ではないが)、対象について本質的に全射(である|ではない)という、4パターンの関手が普通に存在する

2種類の関手の例

左側の、対象B_4と、そこからB_3に向かう射は、ぼっちになっているが、充満関手の定義上、これらの存在は問題ではない

青矢印で射の対応を示している

右側は、「充満ではないが、対象について本質的に全射」な関手を表している

緑矢印で対象の対応を示している

B_1はぼっち対象だが、B_1と同型である

射b_2は、ぼっち射なので、関手Fは充満ではない

補足

この図はいくつか端折っているので厳密性には欠ける

例えば左側でF(A_1)=B_1などもちゃんと明示していないといけない

ただ、煩雑になるのと、頭で補完できるので省略