同値関係は以下の3つを満たすのだった

これを圏と圏の間の\congについて、成り立っているのかを確認する

参考

『圏論入門』 pp.51-53

反射律について

示すこと

任意の圏\mathscr{A}について、\mathscr{A}\cong\mathscr{A}が成り立つ

自然同型な自己関手があればいい

つまりFG\cong GF\cong 1_\mathscr{A}になるような

2つの関手F,G:\mathscr{A}\to\mathscr{A}を見つけられればいい

ここで\mathrm{id}_\mathscr{A}=F,Gとすると、

FG=GF=\mathrm{id}_\mathscr{A}が成り立つ

これはFG\cong GF\cong 1_\mathscr{A}よりも強い条件である

したがって反射律は成り立つ

対称律について

示すこと

任意の2つの圏\mathscr{A},\mathscr{B}について、以下が成り立つ

\mathscr{A}\cong\mathscr{B}ならば\mathscr{B}\cong\mathscr{A}

仮定である\mathscr{A}\cong\mathscr{B}があるとき、どういう状態か

それは以下の2つの圏(赤)で、少なくとも以下の4本の射(青)の存在が示されている状態である

図2-1

図2-2

図2-1の状態から以下のように置き換えた

F'=G

G'=F

\varepsilon'=\eta

\eta'=\varepsilon

図2-2と同じ関係性のまま\mathscr{A},\mathscr{B}を逆に書いたものが以下

図2-3

図2-1と図2-3を並べてみることで、成り立っていることがわかる

推移律について

示すこと

任意の3つの圏\mathscr{A},\mathscr{B},\mathscr{C}について、

\mathscr{A}\cong\mathscr{B}かつ\mathscr{B}\cong\mathscr{C}ならば、\mathscr{A}\cong\mathscr{C}

最初の２つの仮定を図にするとこう

この2つの図から下図を導けられればいい

図3-3

最初の2つの図の左半分を一つの図にして書くとこうなる

この図の中の関手と自然変換を合成していくわけだが、ストリング図でやってみた

③で出現するG\eta'F: GF\to GG'F'Fは自然同型

④で出現するG\eta'F\eta:\mathrm{id}_\mathscr{A}\to GG'F'Fも自然同型

④を普通の図に戻すとこうなる

この自然同型を\eta'':=G\eta'F\etaと定義する

最初の2つの図の右半分を一つの図についても同様

ストリング図のみ示す

最後の自然同型を\varepsilon''=F'FGG'\to \mathrm{id}_\mathscr{C}と定義する

図3-3を再掲する

以上の流れで定義した2つの自然同型\eta'',\varepsilon''により、これが示されている