圏\mathscr{A}の対象Tについて、\mathscr{A}の任意の対象Xに対して、XからTへの射が唯一つ存在する時、Tを\mathscr{A}の終対象という

射は唯一つ。多くても少なくてもだめ

終対象は一つとは限らない

が、複数あればそれらは同型

終対象を考えることで「集合の要素」を「射」として捉えることができる

集合Xの要素は、Setの終対象1からXへの射

空族の直積は終対象のことである

例

前順序集合なら、最大の値があれば、それが終対象

集合の圏Setでは、1点集合は終対象

任意の、元が一つの集合なので、複数ある

Setの中の、1と任意の集合Xについて考える

このとき、Xから1への写像は f x = 1 の一つだけ

逆に、\emptysetや2が終対象でないこともわかる

\emptysetの場合、行き先がないので写像にならない

2の場合、写像が複数存在するので、射が一つにならない

群の圏Grpの終対象は単位群

環の圏Ringの終対象は自明環

小さい圏の圏CATの終対象は単位圏1