from 前順序

集合Sとその上の前順序Rの組

前順序集合の例

(\mathbb{R}, \le)

\leを\subseteqに置き換えた構造もある

前順序集合(S,\le)は対象A\in \mathscr{A}からB\in\mathscr{A}への射がたかだか一つであるような圏と考えられる

1個かもしれないし、0個かもしれない

射を\leと考える

全ての射はモノ射

任意の元a,bに対してa\le bであるかそうでないかが決まる

対象の間の射の個数は0個か1個。たかだか一つ。

合成

a\le bかつb\le cならばa\le c

推移律。

合成射と捉えることが出来る

恒等射

任意のaに対して、a\le a

結合律と単位律

恒等射と捉えることが出来る

全ての対象が恒等射のみを持つ場合は、離散圏になる

各対象に対してa\le aにしかならない

この圏の対象A,Bの極限A\times Bは、\mathrm{min}(X,Y)になる

前順序集合間の関手

順序を保つ関手