開球を用いた定義

p\in R^n,q\in R^mとし、どんな\epsilon\gt0に対しても、\delta\gt0で

条件x\in B_n(p;\delta)\cap Xかつx\ne pならばf(x)\in B_m(q;\epsilon)を満たすものがあるとき

xをpに近づけたときのfの極限はqであるという

fはX\in R^n,Y\in R^m としたときのf:X\rightarrow Y

これを\lim_{x\rightarrow p}f(x)=qと表す

点列の収束を用いた定義

点列の収束とは

\mathbb{R}の点列(\alpha_n)_{n\in N}が、実数\alphaに収束するというのは、

任意に正数\epsilonを与えたとき、それに対してあるn_0\in Nが存在して、n\gt n_0であるすべてのn\in Nに対し|\alpha_n-\alpha|\lt\epsilonが成り立つこと

この\alphaは(\alpha_n)_{n\in N}の極限であり、\lim_{n\rightarrow\infin}\alpha_n=\alphaと表す

距離関数を用いた定義

任意の距離空間(S,d)があり、Sの点列(a_n)_{n\in N}に対し、Sの1点aが存在して、\lim_{n\rightarrow\infin}d(a_n,a)=0が成り立つとき、(a_n)_{n\in N}はaに収束するといい、\lim_{n\rightarrow\infin}a_n=aと表す

このときaを(a_n)_{n\in N}の極限という

ε-δ論法を用いた数列の極限の定義

\forall \epsilon > 0 \exists N \forall n [ N < n \Rightarrow \left| A - a _ { n } \right| < \epsilon].

どんな正数\epsilonに対しても、\epsilonごとにある自然数Nを適切に選べば、どんな自然数nに対しても、Nがnより大きならば、a_nはAの\epsilon近傍にある、という命題を成り立たさせることができる

\lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = A.

ε-δ論法を用いた関数の極限の定義

\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x [ 0 < | a - x | < \delta \Rightarrow | A - f ( x ) | < \epsilon].

どんな正数\epsilonに対しても、\epsilonごとにある自然数δを適切に選べば、どんなxに対しても、x\ne aであるxがaの\delta近傍にあるならば、f(x)はAの\epsilon近傍にある、という命題を成り立たさせることができる

\lim _ { x \rightarrow a } f ( x ) = A.