↓いくつかの種類の積を混同して書いてしまっっている気がする

デカルト積、カルテジアン積

直積集合A\times B

双対は余積

スパンの圏Spanの終対象

ざっくり

A\times Bは、AとBの全要素の組み合わせのこと

例えば、A=\{1,2\}、B=\{a,b,c\}なら、

A\times B =\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}

集合的な定義

A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}

添字圏が離散圏

↑の図では対象は2つしかないが、有限である必要はない

元は順序対(a,b)

順序も関係ある

有限集合の場合、位数は|A|\times|B|

a\in A,b\in B

\mathbb{R}^3は、\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}のこと

\mathbb{R}の直積

\mathbb{R}^1=\mathbb{R}の各点は普通にただの一つの実数

\mathbb{R}^3の元は3つの実数の組

ex. (1,2,3)

\mathbb{R}^1は直線、\mathbb{R}^2は平面、\mathbb{R}^3は空間を表す

ref ユークリッド空間

参考

/zatsuben/位相空間の定義を圏論の言葉で解釈するとか良い