位相空間の定義を圏論の言葉で解釈する
位相空間の定義って、圏論の言葉でスッキリ書けそうだったので、ここにメモ書きを残しておきます。
(以下で述べる直積、直和、始対象、終対象の定義はざっくりとしたものですので、各自、本などでご確認ください)
(1)X, \emptyset \in \mathfrak{O}
(2) Xの部分集合U, VがU, V \in \mathfrak{O}ならば、U \cap V \in \mathfrak{O}.
(3) \mathfrak{O}の元の任意の族\{ U_i \}_{i\in I}に対して、\bigcup_{i\in I} U_i \in \mathfrak{O}.
この３つの条件を圏論の言葉で書き換えるのが今回の目標。
冪集合を圏とみる
ここで、集合Xの冪集合P(X)を圏として見ることについて紹介しておきます。
[* 圏P(X)の定義]
対象はXの部分集合 (i.e. P(X)の元)
U, V \subset X間の射U\to Vは関係U\subset V
上ではP(X)を圏とみなす方法を定義として挙げましたが、同じようにして\mathfrak{O} \subset P(X)も圏とみなすことが出来ます。
さて、圏\mathfrak{O}の中での\capと\cupの役割について射の視点から考えてみたいと思います。
まず、U\cap V \subset UかつU \cap V \subset Vなので次の図式を得ます。
ここで、更に同じような図式を持つ集合Wを
同じような図式というのは、WがU\cup Vと同じ図式を持つということだよね
すなわち、元の集合論で表記すればW \subset U かつ W \subset V
そうです
考えると、必ずW \subset U\cap Vとなるので、次の図式を得ます。
さらに、W \subset U, W\subset Vなので最終的に次の図式が得られます。
圏論の言葉で、上のような図式を持つ対象U\cap VをUとVの直積といい、U\times Vと表します。
同じようにして、U\cup Vに対して次の図式が得られます。
上の図式を持つような対象U\cup Vを圏の言葉でUとVの余直積といい、U\oplus Vと表します。
ここ、\capじゃなくて\cupかな？
指摘ありがとうございます。修正しました
よって、位相の定義の(2)と(3)は次のように書き換えられます。
(2) \mathfrak{O}の対象U, Vに対してその直積U\times Vが存在する。
(3) \mathfrak{O}の対象の族{U_i}_{i\in I}に対して、その余直積\bigoplus_{i\in I} U_iが存在する。
また、\mathfrak{O}の中でのXと\emptysetの他の対象との関係について考えてみると
任意の対象Wに対して次の図式が存在することが分かります。
Xのように、任意の対象からの射が存在する対象をその圏の終対象
\emptysetのように、任意の対象への射が存在する対象をその圏の始対象
といいます。
よって、位相の定義(1)は次のように書き換えられます。
(1) \mathfrak{O}の始対象、終対象が存在する。
まとめ
以上の議論から、集合Xの位相\mathfrak{O}を圏とみなしたとき、\mathfrak{O}は次の性質を持ちます。
(1) \mathfrak{O}の始対象、終対象が存在する。
(2) \mathfrak{O}の対象U, Vに対してその直積U\times Vが存在する。
(3) \mathfrak{O}の対象の族{U_i}_{i\in I}に対して、その余直積\bigoplus_{i\in I} U_iが存在する。
逆にこのような性質を持つ圏を位相の一般化とすることも出来そうです（実際にそういう概念があるかどうかは分かりません）
位相に関するWikipediaのページには「閉集合は開集合の双対である」という文があるのですが、
この性質を知れば、その文の意味も納得できるんじゃないかな～と思います。
たしかに
漠然と諸々の性質がひっくり返ったもの、とかのイメージは持っていたが、
たとえば全体集合から開集合引いたら閉集合であるとか
図式で表現した上で、射の向きをひっくり返したもの、となるとよりその「双対性」が明らかになるな
分かりやすかった！
直積の圏論での表現、前にも見たことあった気がするけどいまいちピンときてなかったけど把握できた
積集合について考え直す
これが示すようにUとVに射を持つような集合が、必ずU \cap Vに対して射を持つので、逆にこのような特徴を持って積集合を定義してやれば、圏論の上で積集合が定義できるということ
そもそも積集合ってなんだっけ…って考えたときに、AかつBみたいな、自然言語由来の「かつ」「and」みたいな意味概念を、図式とその最小性（であってたっけ？）普遍性 で定義できるのってすごいな
普遍性ですかね？
それです