/mrsekut-p/位相空間とは

1つの位相\mathfrak{O}を与えられた集合Sのこと

?

集合Sを見た時、「お、これ位相空間じゃん！」っていうのはおかしいか

この人に位相が見えてたら、位相空間じゃん！ってなるのか

\mathbb{N}全体を見た時に、「お、群じゃん！」ってなるのはわかる

集合そのものが群の構造を持っているので、群じゃん！ってなる

ちょっと違う気がする

演算を入れないと群にならないので、この人が頭の中で勝手に演算を入れていることになる

あ、ほんまや

位相空間は集合そのものではなく、集合の中のとり方？によって構造を見出してる感じがするので、上のSを見た時に、ある人は「お、位相空間じゃん！」といって、またある人は「位相空間じゃねえよ」ってなるのか

この集合と一緒に、「この位相です」って渡されなかったらわからないか。

2つ組(S,\mathfrak{O})のこと、って言ってるんだから、そらそうか

「位相空間(S,\mathfrak{O})の部分集合」ってなに

(位相構造を持った)Sの普通の部分集合？

Sの部分集合で、構造もそのままその部分集合のなかにあるのだけ引っ張ってきたやつを

（その構造の）部分〜〜とは言う

部分位相空間、相対位相

こういうときに「自然な」という単語をよく使う

自明な、とも言ったりする

たとえば部分群とかもそう

/mrsekut-p/位相とは

空でない集合Sの部分集合系\mathfrak{O}について

1. S\in\mathfrak{O}および\phi\in\mathfrak{O}

2. O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}

3. (O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を\mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}

を満たすとき、\mathfrak{O}はSにおける1つの位相である、と言う

？

集合Sの部分集合系\mathfrak{O}とは

O_1はどこからきた

引数のようなものと思えばいい気がする

これは「２倍を返す関数」というのを a => 2 * a と書くように、

日本語にすると

「２つの部分集合系に属する集合をとってくれば、それらの積集合もその部分集合系に属する」

ちなみにこれは２つの集合で成立するなら、繰り返し当てはめればN個のときも成立することがわかる

1,2は完全に理解した

３つめの式は

積集合じゃなくて和集合の場合の似たような条件

ただし、部分集合族を引数としてとってる

これは有限個よりももっと強い制約と言える

例えば\Lambdaを2つの元だけの集合\{1,2\}としたら上の３式は

O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、O_1\cup O_2\in\mathfrak{O}

になりますね

なんとなく言っていることはわかるのですが、2と書き方を変えている意味がわからないです..

２よりも強い主張ということです

変えているのではなくて主張が強い、違う

なんか良い説明できそう ちょいまち（飯食べる）

了解です！

書いてはいるがちょっとわかりやすい説明にするのが難しいです…

図が欲しい

位相の構造を入れられない集合は存在するか

以下の具体例でも触れたとおり、

｛空集合、S自身｝という密着位相

Sの冪集合　を離散位相

といって、この２つは少なくとも存在する

ただし、これらは「中身すっからかん」と「ギチギチ」みたいなものなので数学的な考察はあんまりできない

要素一個の群とか考える余地が無いのと似てる

集合族とは

\Lambdaによって添数付けられた族(A_\lambda)_{\lambda\in A}で、\Lambdaの各元\lambdaにおいて取る値A_\lambdaがそれぞれ1つの集合であるようなものを、集合族という

族は、数列を一般化したと考えると理解しやすい

なるほど！！

数列

1,2,3...と書く

これは(a_n)_{n\in N}と書いたりする

これは言い換えると、

数列とは「自然数を引数として何らかの元を返す写像」といえる

定義域である自然数を拡張して、任意の集合\Lambdaとしているのが族

そして写像の出力が集合なのが集合族