集合Sのとある部分開集合系

定義

位相空間#659a462819827000006402e8を参照

位相には両極端のものが必ず含まれる

O_1\sub O_2ならO_2の方が強い

具体例

Sの元が1つのとき

S=\{a\}だとすると、Sの冪集合は\{\varphi,\{a\}\}

書き換えるなら\{\varphi,S\}

この中から上の定義を満たすものを選べばいい

定義の1つ目から\varphi,Sが含まれることはわかる

結論、\mathfrak{O}=\{\varphi,S\}となる

これが元が一つのときの位相

Sの元が2つのとき

以下の4つが位相

\mathfrak{O}_1=\{\varphi,S\} ←最小の部分集合。 密着位相

\mathfrak{O}_2=\{\varphi,\{p\},S\}

\mathfrak{O}_3=\{\varphi,\{q\},S\}

\mathfrak{O}_4=\{\varphi,\{p\},\{q\},S\} ←Sの部分集合全体。離散位相

Sの元が3つのとき

29個ある

具体例

p.122にトランプを用いた具体例が載っている

元が3つの場合

位相の具体例を考える

元が2つの集合S=\{1,2\}について考える

Sの部分集合を列挙すると

\varphi

\{1\}

\{2\}

\{1,2\}←Sそのもの

の4つになる。

部分集合系は、「部分集合の集合」なので、この4つから適当に選べば良い

例えば

①\{\varphi,\{1\}\}とか

②\{1,S\}とか

③\{\varphi,S\}とか

ただ、これが「位相」になるためには適当に部分集合系を作ればよいのではなく、

上に書いた位相の定義を満たして、部分集合系を作らないといけない

①はSを含んでない。②は\varphiを含んでない。ので位相ではない

③は定義をすべて満たすのでこれはSの位相の一つになる

他に考えられるものは、残り3つであり、これら↓

\{\varphi,\{1\},S\}

\{\varphi,\{2\},S\}

\{\varphi,\{1\},\{2\},S\}

これらのどれか一つと、Sが与えられた時、それは位相空間になる