1つの位相\mathfrak{O}を与えられた集合Sのこと

(S,\mathfrak{O})の2つ組

Sは台集合

\mathfrak{O}は位相

Sの元は「位相空間(S, \mathfrak{O})の点」と呼ぶ

開集合が定義されている集合

定義

空でない集合Sの部分集合系\mathfrak{O}について

①S自身と空集合は、位相\mathfrak{O}の元である

S\in\mathfrak{O}および\varphi\in\mathfrak{O}

②位相\mathfrak{O}の任意の2つの元(開集合)の共通部分は、\mathfrak{O}の元である

O_1,O_2\in\mathfrak{O}ならば、O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}

③位相 \mathfrak{O}の任意の元(開集合)の和集合は、 \mathfrak{O}の元である

(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}を\mathfrak{O}の元からなる任意の集合族とすれば\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}

上記の3つの条件を満たす時、

\mathfrak{O}はSの開集合系である、と言う

集合Sに開集合系\mathfrak{O}が与えられている時

\mathfrak{O}はSに位相構造を定める

Sには\mathfrak{O}による位相が入る

のように言う

\mathfrak{O}の元を開集合と呼ぶ

このような位相構造が定められた集合Sを位相空間と言う

概要