位相の具体例を考える
from 位相空間がわからない
位相の具体例を考える
元が2つの集合S=\{1,2\}について考える
Sの部分集合を列挙すると
\varphi
\{1\}
\{2\}
\{1,2\}←Sそのもの
の4つになる。
部分集合系は、「部分集合の集合」なので、この4つから適当に選べば良い
例えば
①\{\varphi,\{1\}\}とか
②\{1,S\}とか
③\{\varphi,S\}とか
ただ、これが「位相」になるためには適当に部分集合系を作ればよいのではなく、
上に書いた位相の定義を満たして、部分集合系を作らないといけない
①はSを含んでない。②は\varphiを含んでない。ので位相ではない
③は定義をすべて満たすのでこれはSの位相の一つになる
定義を満たす中で、最も少ないやつ（空集合とS自身の２つだけ）これは自明な位相（密着位相）という
他に考えられるものは、残り3つであり、これら↓
\{\varphi,\{1\},S\}
\{\varphi,\{2\},S\}
\{\varphi,\{1\},\{2\},S\}
全部を入れてるやつは離散位相って言う
これらのどれか一つと、Sが与えられた時、それは位相空間になる
濃度６の有限集合を考える S = \{1,2,3,4,5,6\}
{1} と{2,3}が開集合だったら{1,2,3}も開集合
この部分集合族が「元と元の近さ」みたいなイメージをは持ってる
2と3はくっついてる
4,5,6はくっついてる
だから全部の部分集合のやつは離散位相で、
\varphiとSだけのやつは密着位相
有限集合の場合は、条件３の集合族が有限になるな