from 位相空間がわからない

部分集合系とは

いくつかの部分集合からなる集合

「集合の集合」ではなく「部分集合の集合」

重複はある？

例えば、S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}とだったとき、

部分集合S_1=\{1,3,5,7,9\},S_2=\{2,4,6,8\}とすると、

\{S_1,S_2\}が部分集合の集合なので、これは部分集合系

じゃあS_3=\{1,2,3,4,5\}もあったとき、\{S_1,S_2,S_3\}も部分集合系？

yes

すべての部分集合の集合をべき集合と言ったりする

上の例なら、Sの冪集合\mathfrak{P}(S)は

\varphi

{1}, {2}, {3}, {4}, {5},

{1,2}, {1,3}, ... {8,9},

{1,2,3}, {1,2,4}, ...{7,8,9},

{1,2,3,4}, {1,2,3,5}, .... {6,7,8,9}

{1,2,3,4,5}....

...

..

..

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

を元にもつ集合

これはSが有限集合なら、べき集合の濃度（集合の要素の数）は

Sの濃度がnなら

Sの各要素を含む or 含まない を考えればいいので

2* 2 * ...　= 2^n

「Sの部分集合からなる集合」は言い換えると「Sの冪集合の部分集合」になる

例

上に実際にSのべき集合の要素を書き下したが、これらのなかにS_1,S_2,S_3はある

なので\{S_1, S_2, S_3\} \subset \mathfrak{P}(S)