1991年

素朴集合論におけるパラドックス

Bertrand Russellがフレーゲの第5法則に対し、この法則が採用すると、フレーゲの論理体系に矛盾が生じる、との指摘をした

wikiによると、

フレーゲの第5法則に訴えずとも、(ソレ以前の)ヒュームの原理にも矛盾を生む自然数論が導出可能であったらしい

ラッセルのパラドックスを解消するために型理論が考案された

カントールのパラドックスの研究の延長で見つけたらしい ref p.88-

Russellの指摘の内容

「ある概念Fが存在して、xはFの外延であるが、xはFではない」

という概念をR

その外延をrとする

ここで、rは以下のどちらであるかを考える

Rである

Rではない

rがRだとすると

Rの定義より、ある概念Fが存在して、rはFの外延であるが、rはFではない

ここで、フレーゲの第5法則より、ちょうど同じ対象がFとRを満たす。

よって、rはFではなかったので、rはRではない

rがRでないとすると

ある概念F(つまりR)が存在して、rはFの外延であるが、rはFではない

そこで、rはRである

いずれにせよ、矛盾

集合論で表現(こちらの方がわかりやすい)

R=\{x∣x\notin x\} という集合を考える

つまりRは，「「自分自身を要素として含まない集合」全体の集合」

このRは以下のどちらであるかを考える

自分自身を含む

自分自身を含まない

含む(R\in R)と仮定すると

Rの定義よりR∉Rであるはずなので矛盾

含まない(R\notin R)と仮定すると

Rの定義よりR∈Rとなるはずなので矛盾

いずれにせよ、矛盾

パラドックスが生まれるワケ

そもそもフレーゲがやろうとしていたことは論理主義の前段階(?)のようなこと

つまり、論理学の言葉で、数学を説明しようという試みに取り組んでいた

そこを突き詰めていくとこのパラドックスにぶつかった

故にパラドックスが生まれるのは以下のどちらかだと考えられる

フレーゲの第5法則に問題がある

Friedrich Ludwig Gottlob Frege自身はこちらに注目

論理の側に問題がある

Bertrand Russellはこちらに注目

ここから型理論の考案に繋がる ref 型理論の歴史#5eb7b7421982700000038df0

上のパラドックスの導出は悪循環原理に違反している

Rの定義が非可述的になっている

つまり上の導出のxの取りうる値の中にRが含まれてはならない

参考

『論理の哲学』 6章

Russelの指摘に至るまでの話などが紹介されている

特性関数として集合を見て、パラドックスの出現を観察する

有向グラフとして集合を見る

ラッセルの記述の理論とタイプ理論の関係について