圏論のモナドについて

プログラミングとの対応の初出はComputational lambda-calculus and monads

つまりモナドは(ある種)の自己関手

でありモナドは(ある種)のモノイド対象

である

モナドとKleisli Tripleは概念的に同じもの

双対はコモナド

モナドの定義のアプローチはいくつかある

随伴関手から構成するもの

ref Kleisli Tripleとモナドの対応

モノイド対象から導く

ref モナドとは自己関手の圏におけるモノイド対象である

図が似る

p.80とか pp.239-242

素の定義(?)

wikiに載ってるやつ

このページに書いている

随伴からモナドを構成するの立ち位置

定義 ref

圏\mathscr{A}上のモナドとは、3つ組(T,\eta,\mu)

自己関手T:\mathscr{A}\to\mathscr{A}

自然変換\eta:\mathrm{id}\Rightarrow T

自然変換\mu: T\circ T\Rightarrow T

であり、以下の2つの条件を満たす

\mu\circ T\mu=\mu\circ\mu T

つまり、下図を可換にする

\mu\circ T\eta=\mu\circ\eta T=\mathrm{id}_T

つまり下図を可換にする

補足

T\circ TのことをT^2のように表記している

実際に見ていくときは、例えば下図のようにポイントフリーを具体化して考えると良い

言っていることは、上の図と同じで、「任意の対象Aに対して、この図が可換になる」のように言い直せばいい

関手と自然変換の関係をいつものような図で描いておく

参考