Kleisli Tripleとモナドの対応

概要

Kleisli Tripleとは

3つ組(T,\eta,(-)^*)

モナドとは

3つ組(T,\eta,\mu)

見ればわかるように、前2つT,\etaは全く同じものなので、(-)^*と\muの対応付けができればいい

①クライスリトリプル→モナド

関係(-)^*から、自然変換\mu:T\circ T\to Tを作る

射の族\mu=\{\mathrm{id}^*_{TA}:TTA\to TA|A\in \mathrm{Ob}_\mathscr{A}\}

が自然変換\mu:T\circ T\to Tになる

このとき3つ組(T,\eta,\mu)はモナドになる

Kleisli Tripleの定義の図的理解の延長っぽく描くとこんな感じになる

いつもの自然変換の感じの図で描くとこうなる

(-)^*から\etaが導かれるところに着目する

この\muが自然変換になることを確かめないといけない

②モナド→クライスリトリプル

写像(-)^*:\mathrm{Hom}_\mathrm{A}(A,TB)\to \mathrm{Hom}_\mathrm{A}(TA,TB)を

f^*=\mu_B\circ Tfで定義すると、

(T,\mu,(-)^*)はクライスリトリプルになる

①と②は互いに逆の関係になる

参考

『圏論の歩き方』 p.82